Sombras dum cone de revolução

Consideremos um cone de revolução, situado no 1º diedro, com a base contida no plano horizontal de projeção.

Dados - A base tem centro O(0;5;0) e o raio mede 3 cm; - A altura do sólido mede 7 cm.Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria e a sombra projetada do cone nos planos de projeção.

 Resolução:

- Representa-se o cone a partir dos seus dados.
- Representa-se um raio luminoso l a passar pelo vértice do sólido V.
- Determina-se o ponto I de interseção do raio luminoso l com o plano da base (PHP).

- Determina-se o ponto médio de [I₁O₁], que nos permite determinar com rigor os pontos de tangência (A e B).

- A partir de I₁ representam-se as retas tangentes (que passam por I₁ e nos pontos de tangência A e B previamente determinados). Assim as retas tangentes t e t' são simultaneamente traços horizontais dos planos tangentes luz/sombra, uma vez que se trata de duas retas horizontais de cota nula.

- Usando os pontos A e B representam-se as duas geratrizes que definem a linha separatriz luz/sombra. Desta forma a zona de sombra própria fica imediatamente definida e surge na imagem sombreada com traços paralelos ao eixo x.

- A determinação da sombra do vértice permite representar a sombra projetada do cone nos planos de projeção. Notar que para a determinação dos pontos de quebra se recorreu à sombra virtual do vértice V. A sombra projetada surge no desenho representada com traços perpendiculares à direção dos raios luminosos.

Sombra de um cone

Sombras de um cone de revolução com a base situada no Plano Horizontal de Projeção [PHP]

Dados - O sólido está no primeiro diedro.

- A base tem centro O(6;0) e o raio mede 4 cm; - A altura do sólido mede 8 cm.Considerando a direção convencional da luz, determine a sombra própria, bem como a sombra projetada do cone nos planos de projeção.

A base do cone situa-se no PHP, por esse motivo fica coincidente com a sua sombra real.
Determina-se a sombra virtual do vértice e liga-se à sombra da base nos pontos de tangência T e T’.
Os pontos de quebra fazem a ligação à sombra real do vértice.
As geratrizes da separatriz de luz e sombra, nascem nos pontos de tangência e limitam a sombra própria do sólido.
Esta separatriz de luz e sombra é a linha formada pelas geratrizes  [TV] e [T’V] e pelo arco de circunferência [TT'] centrado no ponto O.

Sombra de sólidos no espaço

Podemos estudar aqui as sombras própria e projetada dum cone nos planos de projeção.  Para fazer isso, vamos considerar os raios luminosos a incidir no solido segundo uma dada direção ou fonte. e deste modo, podemos então, calcular com exatidão a interseção dos raios luminosos, tangentes ao sólido com os planos de projeção, determinando assim a sombra projetada deste sólido.

Os raios de luz tangentes ao sólido, determinam neste uma linha que separa a zona iluminada da zona de sombra própria do sólido - Separatriz de luz e sombra.
A Sombra projetada do sólido é a sombra desta linha (separatriz) nos planos de projeção.

Compreendendo bem esta situação genérica, facilmente se pode compreender outras envolvendo outros sólidos.

Sombras própria e projectada por um cone de revolução com base horizontal

Como a base do sólido é paralela ao PHP, determinam-se em primeiro lugar as sombras da base e do vértice nesse plano.
A sombra da base, com centro em OS1, liga-se a VV1 através das tangentes [T’S1VV1] e [TS1VV1] . Essas tangentes, no eixo X dão origem aos pontos de quebra QS e Q’S que, unidos à sombra real do vértice, VS2, vão permitir desenhar a sombra projectada pelo cone no PFP.
Para calcular a sombra própria podemos traçar os raios da base [OT’] e [OT], paralelos respectivamente a [OS1T’S1] e a [OS1TS1].
As geratrizes [TV] e [T’V] separam a zona iluminada do cone da zona em sombra própria, pelo que se designam separatrizes.
Para assinalar as manchas de sombra podemos fazer tracejados finos horizontais na sombra própria, e tracejados finos inclinados 45ºad no PFP e 45ºad no PHP nas manchas de sombra projetada.

Explicações e preparação para exame por professor do ensino secundário com mais de 15 anos de experiência.

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